大数定律与频率收敛
× 收敛是必然的，但它不产生可预测性
频率必然收敛到 6/33。关键在于：收敛靠的是稀释，不是补偿——所以"冷号该出了"永远是错的。
理论
弱大数定律：设每次开奖中某号码出现指示值为 Xt，其概率 p = 6/33。则样本频率必然依概率收敛到 p：
弱大数定律（切比雪夫不等式形式）
P( |X̄n − p| ≥ ε ) ≤ σ² / (n ε²) → 0 (n → ∞)
其中 σ² = p(1−p) = (6/33)(27/33) ≈ 0.1488
收敛的标准差按 1/√n 缩小。3,521 期时，单个号码出现次数的标准差是：
出现次数的标准差
σ次数 = √( n·p·(1−p) ) = √( 3,521 × 0.1818 × 0.8182 ) ≈ 22.89
也就是说，纯随机情况下，每个号码出现 640.2 次是期望，上下波动 ±23 次完全正常。
实测：频率偏差的收敛轨迹
纵轴 = 累计频率相对理论值 6/33 的偏差（百分点）。灰线为 ±2σ 理论包络。
14 号（末期偏差 +1.56%）33 号（末期偏差 -1.68%）01 号（末期偏差 +1.13%）22 号（末期偏差 +1.27%）±2σ 包络
四条曲线在早期剧烈摆动（±6% 以上），随期数增加逐步收窄进包络内。这是大数定律的标准图像——但请注意收窄的方向：它不是"偏离的号码被补偿回来"，而是"早期的偏离被越来越多的新数据稀释"。
实测：33 个号码的偏差是否异常
最"极端"的号码偏离理论值 59 次。但在 33 个号码里挑最大值，本身就期望挑到一个 2.5 左右的值——实测 2.59 小于零假设的 95% 分位 3.18，p = 0.276。完全正常。
各号码次数的 z 值±2σ 参考线
结论：收敛为什么不能用来预测
- 收敛的速度是 1/√n，与"还欠多少"无关。一个号码哪怕前面少出了 100 次，它下一期出现的概率依然是 6/33，不会变成 6/33 + 补偿。
- "回到均值"的方式是稀释，不是补偿。大数定律说的是比例收敛，不是次数补齐。偏少的号码不会"追上来"，而是分母变大后比例自然变小。
- 可预测性需要 n 小的时候。恰恰在 n 小的时候，噪声（±2σ 包络）远大于信号，任何"偏差"都无法与随机波动区分。
这与文献一致：Clotfelter & Cook (1993) 记录到彩民在号码开出后会明显减少对该号码的投注（赌徒谬误），而文献同时确认这种信念不能改善中奖概率，只改变投注分布。
文献
Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. (1993) The “Gambler’s Fallacy” in Lottery Play.
Management Science 39(12): 1521–1525.
链接
Suetens, S., Galbo-Jørgensen, C. B. & Tyran, J.-R. (2016) Predicting Lotto Numbers.
Journal of the European Economic Association 14(3): 584–607.
链接